我打小就与音乐结缘，先后学习过声乐和钢琴，接触过的乐器就更多。作为人类智慧的结晶（EVA 渚薰语），音乐总是与高贵、优雅、美丽这些美好的形容词挂钩。另一方面，物理和数学又代表着人类心智的荣耀。作为写作的缘和由，这无疑是很强大的了。因此，这一系列将介绍音乐中的物理和数学知识。
这是系列文章的第一篇，讲讲和声音相关最基本的一些知识。
声音
在物理学和生理学中，声音的是在传播介质（气体、液体、固体）中以音波的形式存在和传播的振动，其在人的听觉感受系统上产生的压力为人的听觉感受系统接收，而后在大脑中产生感觉的现象。
由于声音的本质是振动，因此声音天然具有两个要素：频率和响度。此处的频率即是振动的频率，其单位是赫兹（Hz）。响度则取决于振动的幅度，其单位为分贝（dB）：振动幅度越大，响度越高；反之，响度越低。
声音的响度取决于振动的幅度。具体到音乐中，即是吹奏时吐气的力量大小、拉弓时运弓的急缓、弹奏时敲击的力量大小。响度是很直观的，不需要做过多的讨论。因此之后的内容都主要讨论声音的频率。
音高与音程
音高
音高（pitch）是人类对声音频率的感受。相对而言，低沉的声音音高低，而尖锐的声音音高高。
人对音高的感受基本由声音本身的基频（见「泛音」一节）决定，同时受人类生理结构和心理因素制约和影响。这也就是说，对于相同频率的声音，不论由何种发声器激发，人都会认为它们的音高相同。但反过来，对于频率不同却相近的声音，人们可能认为具有同样的音高。
尽管如此，在绝大多数情况下，频率可视作是音高的唯一决定因素。
音高科学记号法
音高科学记号法（scientific pitch notation）结合了音符名（CD--AB）与八度序号的音高记号法。在该记号法中，每个八度的升降发生在 $B_{i - 1}$ 和 $C_i$ 之间。大多数人熟知的中央 C，在音高科学记号法中记为 $C_4$；或在纯文本中记为 C4。
标准音高
中央 C 之上的 A 音符，即 $A_4$，通常被认为是标准音。在诸如视唱练耳的训练、测试中，它通常会被首先给出。标准音的音高随历史变迁而变化，目前公认的标准音高为 440Hz。
音程
音程（pitch interval）是人类感受到两个音音高之间的差距。在人类听力的中频段，人类对不同音高音符之间音程的感知大致是对数的；在高频段则不太符合对数规则。人类听力的这一特性是由人的听觉系统的生理结构决定的。
这也就是说，频率分别为 200Hz/400Hz/800Hz 的三个音，其中两段音程大致是相等的；而频率分别为 200Hz/400Hz/600Hz 的三个音，人类听起这两段音程则不相等。
对于频率相差一倍的两个音，例如 440Hz/880Hz，其间的音程定为八度（见后文「音级」一节）。
音分
音分（cent）是一个用于度量音程的对数标度单位。按照定义，一个八度音程的频率比为 2:1，其间均匀地包含 1200 个音分。因此，相邻两个音分之间的频率倍数应当为 $2^{1/1200}$。
音程为 1 音分两个音符，人耳是很难分辨的。按照 I. Peretz 和 K.L. Hyde的说法，普通成人可以清晰分辨的最短音程差至少是 25 音分。而患有乐感丧失症的成人（一般意义上的五音不全者即属此类），不能分辨小于 100 音分的音程差。
半音和全音
半音（semitone）也是一个用于度量音程的对数标度单位。半音的音程大小，根据不同的音律（见后续文章）而不同。在十二平均律中，一个半音的音程等于 100 音分。两个半音组成一个全音。
在钢琴上，相邻两个琴键之间的音程是一个半音，而间隔一个琴键之间的音程是一个全音。
| 十二平均律中不同音高的频率，单位为赫兹。括号内为距离中央 C（261.63 赫兹）的半音距离。 | ||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 八度→ 音名↓ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |||
| C | 16.352（−48） | 32.703（−36） | 65.406（−24） | 130.81（−12） | 261.63（0） | 523.25（+12） | 1046.5（+24） | |||
| C♯/D♭ | 17.324（−47） | 34.648（−35） | 69.296（−23） | 138.59（−11） | 277.18（+1） | 554.37（+13） | 1108.7（+25） | |||
| D | 18.354（−46） | 36.708（−34） | 73.416（−22） | 146.83（−10） | 293.66（+2） | 587.33（+14） | 1174.7（+26） | |||
| D♯/E♭ | 19.445（−45） | 38.891（−33） | 77.782（−21） | 155.56（−9） | 311.13（+3） | 622.25（+15） | 1244.5（+27） | |||
| E | 20.602（−44） | 41.203（−32） | 82.407（−20） | 164.81（−8） | 329.63（+4） | 659.26（+16） | 1318.5（+28） | |||
| F | 21.827（−43） | 43.654（−31） | 87.307（−19） | 174.61（−7） | 349.23（+5） | 698.46（+17） | 1396.9（+29） | |||
| F♯/G♭ | 23.125（−42） | 46.249（−30） | 92.499（−18） | 185.00（−6） | 369.99（+6） | 739.99（+18） | 1480.0（+30） | |||
| G | 24.500（−41） | 48.999（−29） | 97.999（−17） | 196.00（−5） | 392.00（+7） | 783.99（+19） | 1568.0（+31） | |||
| G♯/A♭ | 25.957（−40） | 51.913（−28） | 103.83（−16） | 207.65（−4） | 415.30（+8） | 830.61（+20） | 1661.2（+32） | |||
| A | 27.500（−39） | 55.000（−27） | 110.00（−15） | 220.00（−3） | 440.00（+9） | 880.00（+21） | 1760.0（+33） | |||
| A♯/B♭ | 29.135（−38） | 58.270（−26） | 116.54（−14） | 233.08（−2） | 466.16（+10） | 932.33（+22） | 1864.7（+34） | |||
| B | 30.868（−37） | 61.735（−25） | 123.47（−13） | 246.94（−1） | 493.88（+11） | 987.77（+23） | 1975.5（+35） | |||
音级
音级指的是两个音之间包括多少基本音，是讨论音程时用来表达两个音音高之间距离的手段。所谓基本音，即使 C, D, E, F, G, A, B 七个音；这七个音符合现代钢琴上白键发出的声音。因此，在五线谱中，每条线、每个间都是一个音级；通常以「度」来表达音级。
举例来说，当两个音处于同一条线或同一个间上时，称为一度；当两个音处于相邻的线和间上时，称为二度。其余度数又可以此类推。
音程命名
按照音程之间半音数与度数的不同，乐理上为不同的音程命名。首先来看相对完整的命名表格。
| 半音数 | 一度 | 举例 | 二度 | 举例 | 三度 | 举例 | 四度 | 举例 | 五度 | 举例 | 六度 | 举例 | 七度 | 举例 | 八度 | 举例 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 纯 | C-C | 减 | E-F♭ | ||||||||||||
| 1 | 增 | C-C♯ | 小 | E-F | 倍减 | Dx-F | ||||||||||
| 2 | 倍增 | D♭-D♯ | 大 | C-D | 减 | D♯-F | ||||||||||
| 3 | 增 | C-D♯ | 小 | D-F | 倍减 | D♯-G♭ | ||||||||||
| 4 | 倍增 | G♭-A♯ | 大 | C-E | 减 | D♯-G | ||||||||||
| 5 | 增 | F-A♯ | 纯 | C-F | 倍减 | C♯-G♭ | ||||||||||
| 6 | 倍增 | F-Ax | 增 | F-B | 减 | B-F | 倍减 | C♯-A♭♭ | ||||||||
| 7 | 倍增 | F-B♯ | 纯 | C-G | 减 | C♯-A♭ | ||||||||||
| 8 | 增 | C-G♯ | 小 | E-C | 倍减 | Dx-C | ||||||||||
| 9 | 倍增 | D♭-A♯ | 大 | C-A | 减 | D♯-C | ||||||||||
| 10 | 增 | C-A♯ | 小 | D-C | 倍减 | G♯-G'♭ | ||||||||||
| 11 | 倍增 | C-Ax | 大 | C-B | 减 | G-G'♭ | ||||||||||
| 12 | 增 | C-B♯ | 纯 | C-C' | ||||||||||||
| 13 | 倍增 | C-Bx | 增 | C-C'♯ | ||||||||||||
| 14 | 倍增 | C-C'x |
为便于理解，这里给出相关解释。首先是钢琴上白键之间能看到的音程：
- 纯一度：0 个半音组成的一度音程；
- 小二度：1 个半音组成的二度音程；
- 大二度：2 个半音组成的二度音程，由两个小二度构成；
- 大三度：4 个半音组成的三度音程，由两个大二度构成；
- 纯四度：5 个半音组成的四度音程，由一个大三度和一个小二度构成；
- 纯五度：7 个半音组成的五度音程，由一个纯四度和一个大二度构成；
- 大六度：9 个半音组成的六度音程，由一个纯五度和一个大二度构成；
- 大七度：11 个半音组成的七度音程，由一个大六度和一个大二度构成；
- 纯八度：12 个半音组成的八度音程，由一个大七度和一个小二度构成。
而后是音程之间的变化：
- 同度大音程与小音程之间总是差一个半音；
- 增音程：大音程和纯音程增加半音时，叫增音程；
- 减音程：小音程和纯音程减少半音时，叫减音程；
- 倍增音程：增音程再增加半音时，叫倍增音程；
- 倍减音程：减音程再减少半音时，叫倍减音程。
其中，除了增四度和减五度之外，所有的增音程、减音程、倍增音程和倍减音程通称变化音程。
按照不同音程给人的不同感受，乐理上将音程分为
- 极完全协和音程（极纯音程）：纯一度、纯八度；
- 完全协和音程（纯音程）：纯四度、纯五度；
- 不完全协和音程：大三度、小三度、大六度、小六度；
- 不协和音程：大二度、小二度、大七度、小七度；
- 极不协和音程：增四度、减五度以及所有变化音程。
按照通常的理解，音程越和谐，奏出的声音给人的感觉就越松弛、安静；反过来，音程越不和谐，奏出的声音给人的感觉就越紧张、动态。
泛音
驻波
驻波（standing wave 或 stationary wave）是高中物理中的概念。两个波长、频率（周期）和波速都相同的波相向而行互相干涉，则形成驻波。驻波中，每一个质点都做简谐振动，但各点的振幅不同。振幅为零的点即是波节（Node）。
上图中，振动从弦的左端开始，以机械波的形式向右传递。在遇见右侧障碍物时，行波反射而回。此后两个行波叠加干涉，在弦上形成驻波。
驻波与泛音
以弦乐器为例，根据梅森法则（Mersenne's laws），弦的基础振动频率 $f_0$
- 与弦长 $L$ 成反比；
- 与弦内张力 $F$ 的平方根成正比；
- 与弦的单位长度质量 $\mu$ 的平方根成反比。
$$f_0 \propto \frac{\sqrt{F}}{L\sqrt{\mu}}.$$
考虑到上一小节中提到的驻波，在弦乐器中的弦上也会发生；于是驻波的各个波节对整个弦进行了分割。由于被分割的弦，长度显然要小于弦的总长，因此这部分驻波的频率会比弦的基础频率高。这样一来，弦乐器上弦的振动实际上是不同长度弦组成的复合振动。因此
- 弦乐器振动发声时，混合了多个不同音高的音；
- 频率对应总弦长的音响度最高，称为基音，也称第一泛音；
- 频率对应由驻波波节划分的更短的弦的音，是一系列泛音，称作泛音列；
- 泛音列中，按频率从低到高依次称为第二泛音、第三泛音……
上图是在 iPhone 上使用 SpectrumView 观察小提琴四根弦振动发声的频谱。它们的基音分别是：$G_3$/$D_4$/$A_4$/$E_5$。不难发现，$G_3$的第三泛音和$D_4$的第二泛音频率几乎相等。这说明$3f(G_3) \approx 2f(D_4)$，亦即$G_3$和$D_4$之间是纯五度音程。$D_4$/$A_4$/$E_5$三根弦之间也能观察到相同现象，说明也是纯五度音程。
管乐器的声音由管内空气柱的振动产生。在管内的空气柱中，也会形成驻波，因而也会形成泛音。
乐器泛音列上各个泛音的强度，与基音一起决定了乐器的音色。
