博弈论通俗演义：美女的硬币游戏与为啥你炒股总亏

这是博弈论通俗演义的第二篇。我们首先分析经典的「美女的硬币游戏」，而后挖掘它背后的模型，再引出「为啥你炒股总亏」的问题。

美女的硬币游戏

问题描述

美女的硬币游戏描述如下：

美女提议与你进行一个游戏，规则如下：

• 双方各持一枚硬币，同时亮出。
  • 若双方均为正面，则美女给你 3 元奖励；
  • 若双方均为反面，则美女给你 1 元奖励；
  • 若双方正反不一致，则你输给美女 2 元。

那么现在的问题是：

• 如果美女不怀好意，想要在你这里赚钱，她应该怎么做？
• 你是否有必胜的策略，能在这个游戏中赚到美女的奖励？

看似公平

我们可以用一张表格表示这个游戏可能出现的各种情况下，你的收益。

↓美女·你→	正	反
正	3	-2
反	-2	1

乍看起来，总共有 4 中情况，每种情况出现的概率都是 $\frac{1}{4}$。于是这个游戏是公平的，不管怎样，一直玩下去你也不会亏钱。对于广大单身男同胞，可能还获得了一个与美女搭讪的机会。看上去不亏。但事实真是这样吗？

藏在概率里的陷阱

游戏是公平的，这个推论建立在上述 4 种情况出现的概率均等的前提下。某种程度上，这受到了各种「抛硬币实验」的影响。——大家可能默认硬币出现正反面的概率是均等的，都为 $\frac{1}{2}$。但是这个前提在当前问题中不成立。

实际上，参与游戏的双方，可以选择以一定的概率亮出正面或反面。我们假设美女亮出正面的概率是 $p$，而你亮出正面的概率是 $q$。于是，对于你来说，参与游戏获得收益的期望是

$$\begin{array}{rl}E=& 3pq-p(1-q)-2(1-p)q+2(1-p)(1-q)\\ =& 8pq-3p-3q+1.\end{array}$$

显然，若 $p$, $q$ 不全为 $\frac{1}{2}$ 时，期望不一定为 0。它可能大于 0 也可能小于 0。

不怀好意的美女

现在假设美女不怀好意。也就是说，她想从你手中赢钱。那么美女要怎样做呢？

考虑 $E$ 是你收益的期望。那么，不怀好意的美女希望通过改变 $p$ 的值，使得 $E<0$。这即是

$$\begin{array}{rl}& E<0\\ \iff & 8pq-3p-3q+1<0\\ \iff & p(8q-3)<3q-1.\end{array}$$

考虑当 $8q-3>0$，即 $q>\frac{3}{8}$ 时，原式等价于

$$p<\frac{3q-1}{8q-3}.$$

由于 $f(q)=\frac{3q-1}{8q-3}$ 在 $(\frac{3}{8},1]$ 上是 $q$ 的减函数。因此当 $p<f(1)=\frac{2}{5}$ 时，原式成立。

再考虑当 $8q-3<0$，即 $q<\frac{3}{8}$ 时，原式等价于

$$p>\frac{3q-1}{8q-3}.$$

由于 $f(q)=\frac{3q-1}{8q-3}$ 在 $[0,\frac{3}{8})$ 上是 $q$ 的减函数。因此当 $p>f(0)=\frac{1}{3}$ 时，原式成立。

再考虑当 $8q-3=0$，即 $q=\frac{3}{8}$ 时，对任意的 $p\in [0,1]$ 成立

$$E=p(8q-3)-3q+1=-\frac{1}{8}.$$

综上所述，当 $p\in (\frac{1}{3},\frac{2}{5})$ 时，无论 $q$ 如何取值，美女都能从你手中赢钱。

苦苦挣扎的你

从上一节中，我们已经可以看出，事实上美女是有必胜的策略的。因此原题第二个问题的答案就显而易见了——你没有必胜的策略。不过不死心的你，可能还想要从你的角度来分析一下。

我们考虑一种极端情况，即「你」的收益最大化的情况，你亮出正面的概率 $q$ 应当满足什么条件。为了让美女无机可乘，你应当调整概率 $q$，使得无论美女亮出正面还是反面，你的收益的期望相等。因为，若不然，美女就可以通过调整概率 $p$，使得正面或反面出现的次数更多，来降低你的总收益。——这与「你的收益最大化」的假设矛盾。

首先，我们列出当美女亮出正面或反面时，你的收益的期望：

$$\{\begin{array}{l}{E}_{+}=3q-2(1-q),\\ E_{-}=-2q+(1-q).\end{array}$$

现在，令 $E_{+}=E_{-}$，则有一元一次方程的解 $q=\frac{3}{8}$。这就是说，当你亮出正面的概率是 $\frac{3}{8}$ 时，你的收益最大。而最大的收益是多少呢？——我们在上一节已经计算过了

$$E(q=\frac{3}{8})=-\frac{1}{8}.$$

这也就是说，最好的情况，你平均每一局游戏也得亏 $-\frac{1}{8}$ 元钱。因此，你是没有必胜策略的（相反美女是有的）。

美女硬币游戏的要义和模型

美女硬币游戏的要义，其实就是她的「提议」。她的提议看起来是一个公平的游戏，但实际上是她占据了话语权。具体到游戏中，就是占据了游戏规则的制定权。那么，美女硬币游戏中的美女，事实上就具有了[前作]中提及的先发优势。

更抽象的问题

我们说，假设越强，结论就越弱；反过来，假设越弱，结论就越强。现在我们削弱美女硬币游戏的假设，让它变得更抽象，从而加强我们已有的结论。

考虑到硬币的正反面地位等同。我们不妨设「正正」的情况，收益为 $a$；而「反反」的情况，收益为 $b$。为了让游戏「看起来公平」，我们需要保证「正反」和「反正」的情况，收益为 $-\frac{a+b}{2}$。

↓·→	正	反
正	$a$	$-\frac{a+b}{2}$
反	$-\frac{a+b}{2}$	$b$

这种情况下，对手收益的期望是

$$\begin{array}{rl}E=& apq-\frac{a+b}{2}p(1-q)-\frac{a+b}{2}(1-p)q+b(1-p)(1-q)\\ =& 2(a+b)pq-\frac{a+3b}{2}p-\frac{a+3b}{2}q+b.\end{array}$$

因此，你收益最大时应满足

$$q=\frac{a+3b}{4(a+b)}.$$

此时，你收益的期望是

$$E=-\frac{(a-b{)}^2}{8(a+b)}.$$

考虑到 $(a-b{)}^2>0$ 对任意的 $a\ne b$ 总是成立。于是，我们得到了一个假设很弱的结论：

若你的对手巧妙地设置 $a$ 和 $b$ 的值，使得 $a\ne b$ 及 $a+b>0$，那么你就总是会输。

从这里，我们也能看出，所谓的「先发优势」是何等巨大。先发者只需要稍微设置一下游戏规则，你就只能输输输了。

炒股还是不炒股？这不是个问题。

现在我们回到炒股的问题上来。在股市中，有如下对应关系。

美女的硬币	股市
美女	庄家
亮正面	做多
亮反面	做空
收益	收益

如此一来，结论就显而易见了。在一个由庄家控盘的股票上，不论你怎么买入卖出，庄家都很容易通过一定的策略让你（和其他散户）的收益期望最大值为负。如此一来，结论就是：庄家总是能赚钱，而散户长远看总是亏钱。

因此，炒股还是不炒股？这不是个问题。珍爱资产，远离股市——特别是庄家多的题材股。如果你一定要炒股，那么，请在合适的时机投资你了解、看好的基本面良好的股票。