最近在自如租房时，负责租房的管家提供了名为「自如分期」的房租付款方式。观其操作模式，与信用卡分期还款、银行现金贷基本无差。印象里，以前有看到过文章讲述信用卡分期还款是不划算的；所以，在选择付款方式时，我就多留了一个心眼。
这里，将相关的分析，记录下来。以便让后来者明白：为什么说信用卡分期还款是不划算的。
利息和利率
利息和利率是大家都很熟悉的概念，但是对此二者深入思考的人恐怕不多。为了给读者树立利息的意义，此处我们给出一个抽象的表述：利息（或贴现）度量了资金在时间上积累的价值。
具体是什么意思呢？我们考虑，利息是负债方在还债时向债权方额外支出的费用；因此，负债方实际上是用利息向债权方「购买」了本金在一定时间内的流动性（使用权）。这就是说，利息实际上度量了债权方借出的本金在这段时间内积累的价值。
举例来说，Alice 作为债权方向负债方 Bob 借出 1,000 元，双方约定一年期后，Bob 以 10% 的利率一次性还清本息。那么，一年后，Alice 就会收到 1,100 元。
| 时间 | Alice | Bob | Bob 的借款本金 |
|---|---|---|---|
| 借出前 | 1,000 | 100 | 0 |
| 借出后 | 0 | 1,100 | 1000 |
| 一年后 | 1,100 | 0 | 0 |
单利与复利
在上一节的例子当中，Alice 和 Bob 约定的借款周期是一年，只有一次计息。因此，在上一节的例子当中，不存在单利与复利的分别。这一节，我们介绍单利和复利的分别，以及和收息方式的联系。
所谓单利，指的是在多轮计息的过程中，每次计息的本金保持不变；而复利指的是，在多轮计息的过程中，前次计息产生的利息，作为下一次计息的本金。可以想见，复利的计息方式在长时间积累之下，会产生远高于单利的利息。因此，复利又被称为「利滚利」或「驴打滚」，以形容其在长时间积累之下的可怕「威力」。
我们先来看单利的情况。Alice 作为债权方向负债方 Bob 借出 1,000 元，双方约定借款 3 年，每年年末 Bob 按 10% 的利率向 Alice 支付利息，第 3 年年末还清本金。这样一来，我们有：
| 时间 | Alice | Bob | Bob 的借款本金 |
|---|---|---|---|
| 借出前 | 1,000 | 300 | 0 |
| 借出后 | 0 | 1,300 | 1,000 |
| 一年后 | 100 | 1,200 | 1,000 |
| 两年后 | 200 | 1,100 | 1,000 |
| 三年后 | 1,300 | 0 | 0 |
由于 Bob 每年都向 Alice 支付借款利息，因此每年计息时，本金都是 1,000 元。因此，Bob 每次向 Alice 支付的利息，都是 $1000 * 10\% = 100$ 元。
接下来，我们来看复利的情况。Alice 作为债权方向负债方 Bob 借出 1,000 元，双方约定借款 3 年，每年年末按 10% 的利率计算利息并计入本金，第 3 年年末一次性还清本金利息。这样一来，我们有：
| 时间 | Alice | Bob | Bob 的借款本金 |
|---|---|---|---|
| 借出前 | 1,000 | 331 | 0 |
| 借出后 | 0 | 1,331 | 1,000 |
| 一年后 | 0 | 1,331 | 1,100 |
| 两年后 | 0 | 1,331 | 1,210 |
| 三年后 | 1,331 | 0 | 0 |
由于每年计息 10% 后计入下一周期的本金，故此 Bob 的借款本金逐年上升。这样一来，三年之后，Bob 总共需要向 Alice 支付 $1000 * (1 + 10\%)^{3} - 1000 = 331$ 元的利息。
在这一节的两个例子当中，Alice 和 Bob 的借贷关系均维持 3 年，借贷利率均为 10%；仅因为还款、计息的方式不同，导致了单利和复利的差别，最终导致 Bob 支付利息总额的区别。由此可见，收息方式会影响利息的计算方式，并影响最终的利息总额。在日常金融生活中，我们应当特别注意收息方式对资金运转的影响。
在大多数的金融活动中，都能看见复利的影子；相对来说，在真实的金融生活中，单利使用得较少。当然，这不是说单利就不存在了。据我了解，一些银行的消费类贷款，就是以单利做计算的：负债方定期向债权方支付等额的利息，到期后归还最后一期利息和全部本金。
计息周期与利率
在上一节的例子当中，Alice 和 Bob 约定的计息方式和利率均以「年」为单位计算。在实际生活当中，利率常以年计算，但计息周期往往不为整一年。例如，在下面这个例子中，计息周期为三月：Alice 作为债权方向负债方 Bob 借出 1,000 元，双方约定借款 1 年，利率为 12%，每 3 月计息一次，到期后一次性付清所有本息。这样一来，我们有：
| 时间 | Alice | Bob | Bob 的借款本金 |
|---|---|---|---|
| 借出前 | 1,000 | 125.5 | 0 |
| 借出后 | 0 | 1125.5 | 1,000 |
| 3 月后 | 0 | 1125.5 | 1,030 |
| 6 月后 | 0 | 1125.5 | 1,060.9 |
| 9 月后 | 0 | 1125.5 | 1,092.73 |
| 一年后 | 1125.5 | 0 | 0 |
这里，具体的计算过程如下：
- 年利率为 12%，那么 3 个月的利率为 3%；
- 按利率 3% 计息 4 个周期，本息合计
$1000 * (1 + 3\%)^{4} \approx 1125.5$元。
我们知道，若按第一节中的还款方式，Bob 只需在年末还给 Alice $1000 * (1 + 12\%) - 1000 = 120$ 元的利息。如此，我们仅仅改变了计息周期（从一年改为一季度），Bob 就不得不还给 Alice $125.5$ 元的利息。这样算下来，实际上 Bob 承担了 12.55% 的年利率。
由此，我们引出了名义利率和实际利率的关系。设债权方向负债方借出本金 $P$，约定名义年利率为 $r$，年计息 $n$ 次，则一年后本息合计为
$$F = P \cdot \Bigl(1 + \frac{r}{n}\Bigr)^n,$$
实际利率为
$$i = \Bigl(1 + \frac{r}{n}\Bigr)^n - 1.$$
不难看出，当 $n = 1$ 时，名义利率即为实际利率；当 $n > 1 $ 时，名义利率小于实际利率；当 $n < 1$ 时，名义利率大于实际利率。
在现实生活中，约定的利率默认都是名义利率。
时间上积累的价值
至此，我们已经见过了了利息、利率、单利、复利、计息周期、名义利率、实际利率等概念。若是没有提纲挈领的领悟，想必是挺令人犯恶心的。因此，这一节做一个小结——回到刚开始时的说明：利息（和贴现）度量了资金在时间上积累的价值。
在第一节的例子中，Alice 将 1,000 元钱借出给 Bob 一年。因此，Alice 丧失了这 1,000 元在接下来一年中的流动性。作为补偿/报酬，Bob 在一年后按约定给 Alice 100 元的利息。这 100 元的利息，即是 Alice 借出的 1,000 元在一年时间内积累下来的价值。
在第二节的单利的例子中，由于 Bob 每年都向 Alice 支付利息，也就是每年都补偿了 Alice 借出的 1,000 元在经历的这一年的时间积累的价值，因此每年只需要支付 100 元的利息。这就是单利的实质。
在第二节的复利的例子中，由于 Bob 直到最后一年才一次性还清本息；所以，Bob 本应在第一年年末支付的 100 元利息并没有支付，这就相当于 Bob 在第一年年末又向 Alice 借款 100 元。这样一来，原始的 1,000 元本金在第二年产生 100 元利息；新借的 100 元在第二年产生 10 元利息。加起来，第二年一共产生 110 元利息。以此类推，就变成了复利的模样。这就是复利的实质——每个周期的利息也要在时间上积累产生价值。
第三节介绍计息周期的例子和第二节的复利的例子是类似的。
这样一来，不论是利息多少、怎样计息、计息周期如何，我们都能得到统一的规律：利息系统是公平的，负债人应当支付的利息，等同于他在计息周期起始时应当偿还的金额（本金）在计息周期中积累的价值。简单来说就是：欠多少钱，计多少利息。
理解这个规律之后，接下来的内容就能以此提纲挈领了。
等额本金和等额本息
接下来，我们进入更加复杂的领域，两种不同的还款方式：等额本金和等额本息。
在上述所有例子当中，Bob 归还本金都是在约定时间末期一次性归还的。然而，在现实生活中，例如购房贷款都不是这样操作的。事实上，更多的借贷还款，每次还款都同时要偿还本金和支付利息。于是，按照不同的需求，就产生了两种还款方式。
等额本金
第一种还款方式是等额本金。这种还款方式一如其名：每次还款中，本金部分保持等额。也就是说，假设 Alice 作为债权方向负债方 Bob 借出 1,200 元，约定年利率 12%，按月计息；Bob 以等额本金的方式分 12 期还款。那么，Bob 每个月还款中本金部分是相等的，均为 $1200 / 12 = 100$ 元。这样一来，我们有
| 时间 | Bob 剩余应还本金 | Bob 本期应还利息 | Bob 本期应还本息合计 |
|---|---|---|---|
| 借款后 | 1,200 | 0 | 0 |
| 1 月后 | 1,100 | 12 | 112 |
| 2 月后 | 1,000 | 11 | 111 |
| 3 月后 | 900 | 10 | 110 |
| 4 月后 | 800 | 9 | 109 |
| 5 月后 | 700 | 8 | 108 |
| 6 月后 | 600 | 7 | 107 |
| 7 月后 | 500 | 6 | 106 |
| 8 月后 | 400 | 5 | 105 |
| 9 月后 | 300 | 4 | 104 |
| 10 月后 | 200 | 3 | 103 |
| 11 月后 | 100 | 2 | 102 |
| 一年后 | 0 | 1 | 101 |
| 合计 | N/A | 78 | 1278 |
这样的还款方式是符合我们之前所说的「欠多少钱，计多少利息」的。例如说，8 个月后的还款，因月利率是 1%，而 7 个月还款后尚欠款 500 元本金，故此 8 个月后的还款应当还本金 100 元以及利息 5 元，共 105 元。
对于这种还款方式，由于剩余应还本金呈等差序列下降，所以每期归还的利息也呈等差序列下降；这样一来，每次还款的金额也就呈等差序列下降；但是每期还款之中的本金部分是相等的。
这样一来，假设总借款额度为 $P$，年利率为 $r$，年计息 $n$ 次，分 $k$ 个计息周期还款，则第 $i$ 次还款应还的额度为
$$F_i = \frac{P}{k} + \Bigl(1 - \frac{i - 1}{k}\Bigr)\cdot P\cdot \frac{r}{n},$$
总计应还款额度为
$$F = P\cdot \Bigl(1 + \frac{r}{n}\cdot\frac{k + 1}{2}\Bigr),$$
总计应还的利息为
$$I = P\cdot\frac{r}{n}\cdot\frac{k + 1}{2}.$$
等额本息
与等额本金相对，还有一种还款方式是等额本息。本息合计即为应还款的总额，因此等额本息还款方式每次还款的金额是相等的。相比等额本金，等额本息的计算稍微复杂一些。
假设总借款额度为 $P$，年利率为 $r$，年计息 $n$ 次，分 $k$ 个计息周期还款，每次还款金额为 $X$，则第 $i$ 次还款后，尚欠款为
$$P_i = P_{i - 1}\Bigl(1 + \frac{r}{n}\Bigr) - X = P\Bigl(1 + \frac{r}{n}\Bigr)^{i} - X\cdot \sum_{j = 0}^{i - 1}\Bigl(1 + \frac{r}{n}\Bigr)^{j}.$$
这样一来，有
$$P_k = P_{k - 1}\Bigl(1 + \frac{r}{n}\Bigr) - X = 0,$$
也就是
$$P\Bigl(1 + \frac{r}{n}\Bigr)^{k} - X\cdot\frac{(1 + \frac{r}{n})^{k} - 1}{\frac{r}{n}} = 0.$$
这样一来，每次还款的金额为
$$X = P\cdot\frac{\frac{r}{n}\cdot(1 + \frac{r}{n})^{k}}{(1 + \frac{r}{n})^{k} - 1},$$
以及总的利息是
$$I = P\cdot \biggl(k\cdot\frac{\frac{r}{n}\cdot(1 + \frac{r}{n})^{k}}{(1 + \frac{r}{n})^{k} - 1} - 1 \biggr).$$
因此，假设 Alice 作为债权方向负债方 Bob 借出 1,200 元，约定年利率 12%，按月计息；Bob 以等额本息的方式分 12 期还款。那么，Bob 每个月还款额是相等的，均为 106.62 元。这样一来，我们有
| 时间 | Bob 剩余应还本金 | Bob 本期应还利息 | Bob 本期应还本息合计 |
|---|---|---|---|
| 借款后 | 1,200 | 0 | 0 |
| 1 月后 | 1,105.38 | 12.00 | 106.62 |
| 2 月后 | 1,009.81 | 11.05 | 106.62 |
| 3 月后 | 913.29 | 10.10 | 106.62 |
| 4 月后 | 815.80 | 9.13 | 106.62 |
| 5 月后 | 717.34 | 8.16 | 106.62 |
| 6 月后 | 617.89 | 7.17 | 106.62 |
| 7 月后 | 517.45 | 6.18 | 106.62 |
| 8 月后 | 416.00 | 5.17 | 106.62 |
| 9 月后 | 313.54 | 4.16 | 106.62 |
| 10 月后 | 210.06 | 3.14 | 106.62 |
| 11 月后 | 105.54 | 2.10 | 106.62 |
| 一年后 | 0 | 1.06 | 106.62 |
| 合计 | N/A | 79.44 | 1279.44 |
在计算的过程中，我们也遵循了之前所说的「欠多少钱，计多少利息」的规律。因此，不论是等额本息还是等额本金，在利率确定的情况下，以「资金在时间上积累是有价的」这个角度，两种还款方式是等价的。
然而，我们也应当注意到，等额本息方式还款的总利息要高于等额本金；但等额本金方式还款初期的每期还款额较高。这两个现象在贷款额度大、还款期限小时表现得特别明显。因此，在实际生活中，具体选用哪种还款方式，要根据具体的资金情况来决定。
信用卡分期还款
这里我们以招商银行信用卡分期还款的 12 期版本为例。按照招行的宣传，分期还款无利息，但是要收取每期 0.66% 的手续费。很多人会将这 0.66% 的手续费率理解为实际月利率，从而计算名义年利率为 7.92%。但这是个坑。
为方便对比，我们仍以 1,200 为例。以下是我尝试在招商银行掌上生活 App 中为 1,200 元进行 12 期信用卡分期付款的截屏。
从截屏中，我们不难看到：
- 分期总额为 1,200 元；
- 分 12 期；
- 每期还款 107.92 元；
- 每期还款包含手续费 7.92 元。
乍一看，这应该是类似「等额本息」的还款方式。但是其实不然，因为，若按照真正的等额本息还款，每期还款额应该是 106.62 元，而不是 107.92 元。猫腻就藏在这里了。我们将还款记录如下
| 时间 | 剩余应还本金 | 本期应还利息 | 本期应还本息合计 |
|---|---|---|---|
| 借款后 | 1,200 | 0 | 0 |
| 1 月后 | 1,100 | 7.92 | 107.92 |
| 2 月后 | 1,000 | 7.92 | 107.92 |
| 3 月后 | 900 | 7.92 | 107.92 |
| 4 月后 | 800 | 7.92 | 107.92 |
| 5 月后 | 700 | 7.92 | 107.92 |
| 6 月后 | 600 | 7.92 | 107.92 |
| 7 月后 | 500 | 7.92 | 107.92 |
| 8 月后 | 400 | 7.92 | 107.92 |
| 9 月后 | 300 | 7.92 | 107.92 |
| 10 月后 | 200 | 7.92 | 107.92 |
| 11 月后 | 100 | 7.92 | 107.92 |
| 一年后 | 0 | 7.92 | 107.92 |
| 合计 | N/A | 95.04 | 1295.04 |
不难发现，在这样一个还款记录表中，剩余应还本金如同等额本金一样，呈等差序列逐渐下降；然而应还本息合计却如等额本息一样，保持不变。这样一来，相当于变相提高了年化利率。
那么，这种还款方式的实际利率是多少呢？我们说，利率的计算，应当本着「欠多少钱，计多少利息」的原则。纵观整 12 次还款，平均下来每期的应还本金为 650 元。因此，平均月利率为 $7.92 / 650 = 1.22%$；换算下来，年化利率就应该是 $1.22% * 12 = 14.62%$。
这是一个相当高的利率了，与宣传的 7.92% 相去甚远。因此，我们说，信用卡分期还款是非常不划算的。
按公式记录如下：假设总分期金额为 $P$，每次付款的手续费率占总分期金额的比例是 $r$，共分期 $k$ 次，那么实际利率应该是：
$$\frac{2k^{2}r}{k + 1} \times 100\%.$$
例如，在我们的例子当中，计算如下：
$$\frac{2\times 12^{2}\times 0.66\%}{13} \times 100\% \approx 14.62\%. $$
当然，我们必须承认，信用卡分期还款的方式也确实为我们提供了一种新的资金运转思路。在一些特定的情况下，选择分期还款也可以是一种不错的方式；但这就需要我们足够清醒，能够具体分析自己的财务状况和未来规划之间的平衡了。
特别地，自如提供的一些房子，月付和季付的价格是不同的：通常月付的价格会比季付高出不少；但是，使用自如分期，则能以季付的价格进行分期总价的计算；同时自如分期还会在服务费上有一定的优待。因此，在长期来看，若不在乎因分期带来的总价增长，同时却无法在短期内承受一次性支出季付价格，那么选择自如分期就是不错的方案。
