华人数学家陶哲轩曾经设计了这么一个有趣的思维实验：
- 一个村子里有 100 聪明人；
- 100 人中，有 5 人眼睛是红色的，其余 95 人的眼睛是蓝色的；
- 村子里禁止讨论「眼睛颜色」这个话题；
- 通过任何方式知道自己眼睛颜色的人，第二天必须在村子中心的广场上公开自杀。
现在有一个路过的外乡人看到村子之后，公开说了这么一句话：「村子里存在红眼睛的人」。然后，5 天后，村子里红眼睛的人就在村子中心的广场上集体自杀了。
这篇文章讨论这个有趣的思维实验。
自杀的原因
这一节里，我们来解惑，为什么外乡人宣布「村子里存在红眼睛的人」之后 5 天，这些人就集体自杀。这里我们要用到曾经用到过的逆向推理。
只有 1 人红眼睛
首先我们假设，村子里有 99 人眼睛是蓝色的，只有 1 人眼睛是红色的。我们记他为 A。在这种情况下，外乡人公开宣布「村子里存在红眼睛的人」。于是：
- 在外乡人离开的当天，A 发现村子里其他人的眼睛都不是红色的，那么自己的眼睛肯定是红色的。因此，
- 在外乡人离开后的第 1 天，A 自杀了。
有 2 人红眼睛
这一次我们假设，村子里有 98 人眼睛是蓝色的，只有 2 人眼睛是红色的。我们记他为 A 和 B。在这种情况下，外乡人公开宣布「村子里存在红眼睛的人」。于是：
- 在外乡人离开的当天，以 A 为例：在他看来，如果自己的眼睛不是红色的，那么 B 明天就该自杀了，自己则平安无事。考虑到 A 和 B 地位等同，于是
- 在外乡人离开后的第 1 天，平安无事，无人自杀。这回，A 开始犯嘀咕了：B 没有自杀，那么我的假设就错了，那么我的眼睛就是红色的，我明天得自杀了。考虑到 A 和 B 地位等同，因此，
- 在外乡人离开后的第 2 天，A 和 B 自杀了。
有 3 人红眼睛
这一次我们假设，村子里有 97 人眼睛是蓝色的，只有 3 人眼睛是红色的。我们记他为 A、B 和 C。在这种情况下，外乡人公开宣布「村子里存在红眼睛的人」。于是：
- 在外乡人离开的当天，以 A 为例：如果自己的眼睛不是红色，那么村子里有 2 人红眼睛，情况回到了上一小节描述的那样：B 和 C 应该在外乡人离开后的第 2 天自杀，自己则平安无事。考虑到 A、B 和 C 地位等同，于是，
- 在外乡人离开后的第 2 天，平安无事，无人自杀。这回，A 开始犯嘀咕了：B 和 C 没有自杀，那么我的假设就错了，那么我的眼睛就是红色的，我明天得自杀了。考虑到 A、B 和 C 地位等同，因此，
- 在外乡人离开后的第 3 天，A、B 和 C 自杀了。
有 $k$ 人红眼睛
这一次我们假设，村子里有 $100 - k$ 人眼睛是蓝色的，只有 $k$ 人眼睛是红色的。我们记他为 A 和他的红眼睛小伙伴们。在这种情况下，外乡人公开宣布「村子里存在红眼睛的人」。于是：
- 在外乡人离开的当天，以 A 为例：如果自己的眼睛不是红色，那么村子里有
$k - 1$人红眼睛：这些红眼睛的小伙伴们应该在外乡人离开后的第$k - 1$天自杀，自己则平安无事。考虑到 A 和他的小伙伴们地位等同，于是， - 在外乡人离开后的第
$k - 1$天，平安无事，无人自杀。这回，A 开始犯嘀咕了：红眼睛的小伙伴们没有自杀，那么我的假设就错了，那么我的眼睛就是红色的，我明天得自杀了。考虑到 A 和他的小伙伴们地位等同，因此， - 在外乡人离开后的第
$k$天，A 和他的小伙伴们自杀了。
当 $k = 5$ 时，就是陶哲轩思维实验中的情况。
悖论
藏在这个思维实验中的悖论在于这个外乡人。在外乡人自己看来：这个存在本来就有红眼睛的人，而且每个人都知道这一点；那么自己的言论并没有带来新的信息，因此红眼睛的小伙伴们自杀跟我无关。但是显然，思维实验中的 5 个红眼睛的人自杀，必然经历了「我发现自己的眼睛是红色的」这样的过程。也就是说，他们从外乡人的言论里获得了新的信息。显然，这是一个悖论。
那么这是怎么一回事呢？
平凡的情况
对于平凡的情况，也就是 $k = 1$ 的情况，这个悖论很好解释。当 $k = 1$ 时，红眼睛的 A 原本是不知道村子里有红眼睛的人的。此时外乡人的言论就给 A 带来了新的信息量。
非平凡的情况
对于非平凡的情况，也就是 $k \geq 2$ 的情况，这个悖论就不那么好解释了。为了解释这个悖论，这里引入两个概念：
- 共有信息：在一个群体里，如果每个人都知道某个信息，那么这个信息就是这个群体的共有信息。
- 公共信息：在一个群体里，如果每个人都确定其他所有人知道某个共有信息，那么这个信息就是公共信息。
对于信息本身来说，从共有信息到公共信息的转变过程中，信息量没有变化。因为信息还是那个信息。但对于持有共有信息的群体来说，一个信息从共有信息到公共信息的转变过程中，群体持有的信息量是增加了的。因为群体从「不知道别人知道」变成了「知道别人知道」。
如此一来，我们就能解释这个悖论了。
在外乡人「宣布」之前，「村子中存在红眼睛的人」这个信息，是共有信息。村子里的每个人都知道这个信息，但是村子里的每个人都不确定其他人是否知道这个信息——这是由「禁止讨论眼睛的颜色」这一设定保证的。
在外乡人「宣布」之后，「村子中存在红眼睛的人」这个信息，就从共有信息变成了公共信息。村子里的每个人都知道这个信息，这一点没有改变。但是，这一次，村子里的每个人都知道其他所有人都知道这个信息。因此，对于村子中的所有村民来说，他们所持有的信息量增加了。这种信息量的增加，最终导致了 $k$ 个红眼睛的人将在外乡人宣布这一信息之后的第 $k$ 天集体自杀。
延伸
表白
在学生时代，很多人都经历过「暗恋」这个状态。具体来说，A 和 B 两个人互相喜欢。A 显然知道自己喜欢 B，A 也能从 B 平时的表现猜出 B 喜欢自己。也就是说，A 猜测自己和 B 是「彼此相爱」的。对于 B 来说，也是这样。
我们也知道，大多数的「暗恋」没有发展成恋人关系。这是为啥咧？因为「彼此相爱」这个信息，是 A 和 B 的共有信息，但不是公共信息。换言之，A 和 B 都不知道对方是否明白「彼此相爱」，于是不敢发展成恋人关系。我们知道，从共有信息转变成公共信息的过程，需要「宣布」这个动作。在恋爱关系中，「宣布」即是「表白」。也就是说，从暗恋状态转变为恋爱状态，需要 A 和 B 之间发生「表白」这个动作。
然而，由于害羞、父母师长的限制等因素，学生时代的暗恋往往缺少「表白」这个转换为恋爱关系的必要过程。这就是大多数暗恋没有发展成恋人关系的原因。
垃圾股
如果一个股票的价格很高，但股票对应的公司业绩很差、不足以支撑股价，那么这种股票称之为垃圾股。现在的问题是，为什么垃圾股的股价能够持续虚高呢？
垃圾股「股价虚高」这个信息，对于持有该股票的投资人来说是共有信息。这些投资人——或者说投机者——都知道股价虚高，但是他们不确定别人是否知道。于是他们会期待会有「不知情」的人，以同样虚高的价格购入股票——我们称之为他们在等待「接盘侠」。
这时候，如有负面信息放出，告诉大家：「这公司业绩不行，这是个垃圾股」。这时候共有信息变成公共信息，导致的后果往往就是股价一泻千里。
