谈谈红眼睛悖论

华人数学家陶哲轩曾经设计了这么一个有趣的思维实验:

  • 一个村子里有 100 聪明人;
  • 100 人中,有 5 人眼睛是红色的,其余 95 人的眼睛是蓝色的;
  • 村子里禁止讨论「眼睛颜色」这个话题;
  • 通过任何方式知道自己眼睛颜色的人,第二天必须在村子中心的广场上公开自杀。

现在有一个路过的外乡人看到村子之后,公开说了这么一句话:「村子里存在红眼睛的人」。然后,5 天后,村子里红眼睛的人就在村子中心的广场上集体自杀了。

这篇文章讨论这个有趣的思维实验。

自杀的原因

这一节里,我们来解惑,为什么外乡人宣布「村子里存在红眼睛的人」之后 5 天,这些人就集体自杀。这里我们要用到曾经用到过的逆向推理

只有 1 人红眼睛

首先我们假设,村子里有 99 人眼睛是蓝色的,只有 1 人眼睛是红色的。我们记他为 A。在这种情况下,外乡人公开宣布「村子里存在红眼睛的人」。于是:

  • 在外乡人离开的当天,A 发现村子里其他人的眼睛都不是红色的,那么自己的眼睛肯定是红色的。因此,
  • 在外乡人离开后的第 1 天,A 自杀了。

有 2 人红眼睛

这一次我们假设,村子里有 98 人眼睛是蓝色的,只有 2 人眼睛是红色的。我们记他为 A 和 B。在这种情况下,外乡人公开宣布「村子里存在红眼睛的人」。于是:

  • 在外乡人离开的当天,以 A 为例:在他看来,如果自己的眼睛不是红色的,那么 B 明天就该自杀了,自己则平安无事。考虑到 A 和 B 地位等同,于是
  • 在外乡人离开后的第 1 天,平安无事,无人自杀。这回,A 开始犯嘀咕了:B 没有自杀,那么我的假设就错了,那么我的眼睛就是红色的,我明天得自杀了。考虑到 A 和 B 地位等同,因此,
  • 在外乡人离开后的第 2 天,A 和 B 自杀了。

有 3 人红眼睛

这一次我们假设,村子里有 97 人眼睛是蓝色的,只有 3 人眼睛是红色的。我们记他为 A、B 和 C。在这种情况下,外乡人公开宣布「村子里存在红眼睛的人」。于是:

  • 在外乡人离开的当天,以 A 为例:如果自己的眼睛不是红色,那么村子里有 2 人红眼睛,情况回到了上一小节描述的那样:B 和 C 应该在外乡人离开后的第 2 天自杀,自己则平安无事。考虑到 A、B 和 C 地位等同,于是,
  • 在外乡人离开后的第 2 天,平安无事,无人自杀。这回,A 开始犯嘀咕了:B 和 C 没有自杀,那么我的假设就错了,那么我的眼睛就是红色的,我明天得自杀了。考虑到 A、B 和 C 地位等同,因此,
  • 在外乡人离开后的第 3 天,A、B 和 C 自杀了。

有 $k$ 人红眼睛

这一次我们假设,村子里有 $100 - k$ 人眼睛是蓝色的,只有 $k$ 人眼睛是红色的。我们记他为 A 和他的红眼睛小伙伴们。在这种情况下,外乡人公开宣布「村子里存在红眼睛的人」。于是:

  • 在外乡人离开的当天,以 A 为例:如果自己的眼睛不是红色,那么村子里有 $k - 1$ 人红眼睛:这些红眼睛的小伙伴们应该在外乡人离开后的第 $k - 1$ 天自杀,自己则平安无事。考虑到 A 和他的小伙伴们地位等同,于是,
  • 在外乡人离开后的第 $k - 1$ 天,平安无事,无人自杀。这回,A 开始犯嘀咕了:红眼睛的小伙伴们没有自杀,那么我的假设就错了,那么我的眼睛就是红色的,我明天得自杀了。考虑到 A 和他的小伙伴们地位等同,因此,
  • 在外乡人离开后的第 $k$ 天,A 和他的小伙伴们自杀了。

当 $k = 5$ 时,就是陶哲轩思维实验中的情况。

悖论

藏在这个思维实验中的悖论在于这个外乡人。在外乡人自己看来:这个存在本来就有红眼睛的人,而且每个人都知道这一点;那么自己的言论并没有带来新的信息,因此红眼睛的小伙伴们自杀跟我无关。但是显然,思维实验中的 5 个红眼睛的人自杀,必然经历了「我发现自己的眼睛是红色的」这样的过程。也就是说,他们从外乡人的言论里获得了新的信息。显然,这是一个悖论。

那么这是怎么一回事呢?

平凡的情况

对于平凡的情况,也就是 $k = 1$ 的情况,这个悖论很好解释。当 $k = 1$ 时,红眼睛的 A 原本是不知道村子里有红眼睛的人的。此时外乡人的言论就给 A 带来了新的信息量。

非平凡的情况

对于非平凡的情况,也就是 $k \geq 2$ 的情况,这个悖论就不那么好解释了。为了解释这个悖论,这里引入两个概念:

  • 共有信息:在一个群体里,如果每个人都知道某个信息,那么这个信息就是这个群体的共有信息。
  • 公共信息:在一个群体里,如果每个人都确定其他所有人知道某个共有信息,那么这个信息就是公共信息。

对于信息本身来说,从共有信息到公共信息的转变过程中,信息量没有变化。因为信息还是那个信息。但对于持有共有信息的群体来说,一个信息从共有信息到公共信息的转变过程中,群体持有的信息量是增加了的。因为群体从「不知道别人知道」变成了「知道别人知道」。

如此一来,我们就能解释这个悖论了。

在外乡人「宣布」之前,「村子中存在红眼睛的人」这个信息,是共有信息。村子里的每个人都知道这个信息,但是村子里的每个人都不确定其他人是否知道这个信息——这是由「禁止讨论眼睛的颜色」这一设定保证的。

在外乡人「宣布」之后,「村子中存在红眼睛的人」这个信息,就从共有信息变成了公共信息。村子里的每个人都知道这个信息,这一点没有改变。但是,这一次,村子里的每个人都知道其他所有人都知道这个信息。因此,对于村子中的所有村民来说,他们所持有的信息量增加了。这种信息量的增加,最终导致了 $k$ 个红眼睛的人将在外乡人宣布这一信息之后的第 $k$ 天集体自杀。

延伸

表白

在学生时代,很多人都经历过「暗恋」这个状态。具体来说,A 和 B 两个人互相喜欢。A 显然知道自己喜欢 B,A 也能从 B 平时的表现猜出 B 喜欢自己。也就是说,A 猜测自己和 B 是「彼此相爱」的。对于 B 来说,也是这样。

我们也知道,大多数的「暗恋」没有发展成恋人关系。这是为啥咧?因为「彼此相爱」这个信息,是 A 和 B 的共有信息,但不是公共信息。换言之,A 和 B 都不知道对方是否明白「彼此相爱」,于是不敢发展成恋人关系。我们知道,从共有信息转变成公共信息的过程,需要「宣布」这个动作。在恋爱关系中,「宣布」即是「表白」。也就是说,从暗恋状态转变为恋爱状态,需要 A 和 B 之间发生「表白」这个动作。

然而,由于害羞、父母师长的限制等因素,学生时代的暗恋往往缺少「表白」这个转换为恋爱关系的必要过程。这就是大多数暗恋没有发展成恋人关系的原因。

垃圾股

如果一个股票的价格很高,但股票对应的公司业绩很差、不足以支撑股价,那么这种股票称之为垃圾股。现在的问题是,为什么垃圾股的股价能够持续虚高呢?

垃圾股「股价虚高」这个信息,对于持有该股票的投资人来说是共有信息。这些投资人——或者说投机者——都知道股价虚高,但是他们不确定别人是否知道。于是他们会期待会有「不知情」的人,以同样虚高的价格购入股票——我们称之为他们在等待「接盘侠」。

这时候,如有负面信息放出,告诉大家:「这公司业绩不行,这是个垃圾股」。这时候共有信息变成公共信息,导致的后果往往就是股价一泻千里。

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